مدل قیمت گذاری دوجمله ای قراردادهای اختیار معامله چیست؟

در این مدل، دو نتیجه ممکن برای هر تکرار وجود دارد – حرکت به سمت بالا یا یک حرکت به پایین که نمودار یک درخت دوجمله ای را دنبال می‌کند.

این مدل شهودی است و در عمل بیشتر از مدل معروف بلک اسکولز استفاده می شود.

این مدل احتمال تغییرات قیمت را کاهش می دهد و امکان آربیتراژگیری را از بین می برد. یک مثال ساده از درخت دو جمله ای ممکن است چیزی شبیه به شکل زیر باشد:

مبانی مدل قیمت گذاری دو جمله ای قراردادهای اختیار معامله

مفروضات مدل قیمت گذاری دو جمله ای قراردادهای اختیار معامله این است که دو نتیجه ممکن وجود دارد – از این رو، این مدل دارای دو بخش است.  این دو نتیجه‌ی ممکن در مدل‌های قیمت گذاری حرکت قیمت به سمت بالا یا به سمت پایین هستند. مزیت اصلی هر مدل قیمت گذاری دو جمله ای قرادادهای اختیار معامله این است که به لحاظ ریاضی ساده هستند. با این حال این مدل ها ممکن است در مدل چند دوره ای پیچیده شوند.

این مدل دوجمله‌ای برخلاف مدل بلک اسکولز که یک نتیجه عددی را بر اساس ورودی‌ها ارائه می‌کند، امکان محاسبه قیمت دارایی و قراردادهای اختیار معامله را در دوره‌های متعدد همراه با طیفی از نتایج ممکن برای هر دوره فراهم می‌کند (به بخش زیر مراجعه کنید).

مزیت این تصویر چند دوره ای این است که به کاربر اجازه می‌دهد تا تغییر قیمت دارایی را از دوره ای به دوره دیگر در ذهن خود تجسم و ارزش قرارداد اختیار معامله را بر اساس تصمیمات اتخاذ شده در مقاطع زمانی مختلف ارزیابی کند.  مدل دوجمله‌ای در مورد قراردادها اختیار معامله‌ی ایالات متحده که در هر زمانی قبل از تاریخ انقضا قابل اجرا هستند نیز ممکن است بینشی در مورد زمانی که اجرای قرارداد معقول و مناسب به نظر می‌رسد و زمانی که بهتر است قراداد به مدت زمان طولانی‌تری نگهداری شود ارائه دهد.

هر معامله‌گر با نگاه کردن به درخت دوجمله‌ای مقادیر می‌تواند پیش‌بینی کند که چه زمانی تصمیم به اجرای قرارداد گرفته خواهد شد. اگر قرارداد اختیار معامله در سود باشد امکان اجرای قرارداد وجود دارد، در حالی که اگر قرارداد اختیار معامله در ضرر باشد باید برای دوره های طولانی تر نگهداری شود.

محاسبه قیمت با مدل دو جمله ای

روش اصلی محاسبه مدل دو جمله ای قیمت‌گذاری قراردادهای اختیار معامله این است که تا زمان تاریخ انقضای قراردادهای اختیار معامله از احتمال یکسانی در هر دوره برای موفقیت و شکست استفاده شود. با این حال، هر معامله گر می تواند بر اساس اطلاعات جدیدی که با گذشت زمان به دست می آیند احتمالات مختلفی را برای هر دوره در نظر بگیرد.

درخت دوجمله ای ابزار مفیدی برای قیمت گذاری قرادادهای اختیار معامله‌ی آمریکایی و قرادادهای اختیار معامله‌ی تعبیه شده است. سادگی این مدل به طور هم زمان هم مزیت و عیب آن به حساب می‌آید. مدل‌سازی مکانیکی درخت آسان است اما مشکل اصلی در مقادیر ممکنی است که قیمت هر دارایی اصلی در یک دوره مشخص ممکن است اختیار کند. در یک مدل درختی دوجمله‌ای، قیمت دارایی اصلی تنها ممکن است دقیقاً  برابر یکی از دو مقدار ممکن باشد که واقع‌گرایانه نیست، زیرا ارزش دارایی‌ها ممکن است هر مقدار مشخص در هر بازه‌ی تعیین شده باشد.

به عنوان مثال، ممکن است احتمال 50/50 وجود داشته باشد که قیمت یک دارایی پایه در یک دوره معین 30 درصد افزایش یا کاهش یابد. با این حال، ممکن است احتمال افزایش قیمت دارایی پایه در دوره دوم به 70/30 افزایش یابد.

به عنوان مثال، اگر سرمایه‌گذاری به دنبال ارزیابی ارزش چاه نفتی باشد این سرمایه‌گذار از ارزش آن چاه نفت به طور دقیق اطلاع نخواهد داشت اما احتمال 50/50 برای افزایش قیمت این چاه نفت وجود خواهد داشت. اگر قیمت نفت در دوره 1 افزایش یابد و این چاه نفت را ارزشمندتر سازد و عوامل بنیادی بازار نیز در حال حاضر به ادامه افزایش قیمت نفت اشاره داشته باشند، حال ممکن است احتمال افزایش بیشتر ارزش این چاه نفت به 70 درصد برسد. مدل دو جمله ای لحاظ کردن این انعطاف پذیری را امکان پذیر می کند اما مدل بلک اسکول توانایی لحاظ کردن این انعطاف‌پذیری را ندارد.

مثالی واقعی از مدل قیمت گذاری گزینه دو جمله ای

یک مثال ساده از درخت دوجمله ای تنها یک مرحله دارد. سهامی را فرض کنید که قیمت هر سهم آن 100 دلار است. در عرض یک ماه قیمت این سهم 10 دلار افزایش یا 10 دلار کاهش می یابد و وضعیت زیر را ایجاد می کند:

قیمت سهام = 100 دلار

قیمت سهام در یک ماه (وضعیت افزایش قیمت) = 110 دلار

قیمت سهام در یک ماه (وضعیت کاهش قیمت) = 90 دلار

در مرحله بعد، فرض کنید که قرارداد اختیار خریدی برای این سهام وجود دارد که در یک ماه منقضی می‌شود و قیمت اجرای آن 100 دلار است. در حالت افزایش قیمت، این قرارداد اختیار خرید 10 دلار و در حالت کاهش قیمت 0 دلار ارزش خواهد داشت.  به کمک مدل دو جمله‌ای می‌توان تعیین کرد که قیمت این قرارداد اختیار معامله امروز بایستی چند دلار باشد.

برای ساده‌سازی محاسبات، فرض کنید سرمایه‌گذاری نیمی از سهام را می‌خرد و قرارداد اختیار خریدری را می‌نویسد یا می‌فروشد. کل سرمایه گذاری امروز برابر است با قیمت نیم سهم منهای قیمت قرارداد اختیار خرید است و سودهای احتمالی در پایان ماه نیز عبارتند از:

هزینه امروز = 50 دلار – قیمت قرارداد اختیار معامله

ارزش سبد سهام (در حالت افزایش قیمت) = 55 دلار – حداکثر (110 دلار – 100 دلار، 0) = 45 دلار

ارزش سبد سهام (در حالت کاهش قیمت) = 45 دلار – حداکثر (90 دلار – 100 دلار، 0) = 45 دلار

صرف نظر از نحوه حرکت قیمت سهام بازده سبد سهام یکسان است. با توجه به این نتیجه و با فرض عدم وجود فرصت آربیتراژگیری سرمایه گذار باید نرخ بهره بدون ریسک را در طول ماه کسب کند. هزینه امروز باید با بازده سرمایه‌گذاری که برحسب نرخ بهره بدون ریسک یک ماه تنزیل یافته است برابر باشد. معادله‌ای که بایستی حل شود به شرح زیر است:

 قیمت قرارداد اختیار معامله = $50 – $45 x e ^ (-نرخ بهره بدون ریسکx T)

که در آن e ثابت ریاضی برابر 2.7183 است.

با فرض اینکه نرخ بهره بدون ریسک 3% در سال و T برابر با 0.0833 (یک تقسیم بر 12) باشد، پس قیمت امروز قرار اختیار خرید 5.11 دلار خواهد شد.

مدل دو جمله ای قیمت گذاری قراردادهای اختیار معامله نسبت به مدل بلک اسکولز دو مزیت را برای فروشندگان قراردادهای اختیار معامله به همراه دارد. اولین مزیت سادگی آن است که خطاهای کمتری در کاربرد تجاری ایجاد می‌کند.  مزیت دوم نیز عملیات تکراری آن است که قیمت ها را به موقع تنظیم می کند تا فرصت آربیتراژگیری برای خریداران کاهش پیدا کند.

به عنوان مثال، از آنجا که این الگو به ازای هر گره در یک بازه زمانی جریانی از ارزش‌گذاری‌های مختلف را برای مشتقات ارائه می کند، برای ارزش گذاری مشتقاتی مانند قرادادهای اختیار معامله‌ی آمریکایی (که از زمان خرید تا زمان انقضا قابل اجرا هستند) مفید است. این روش همچنین بسیار ساده تر از سایر مدل های قیمت گذاری مانند مدل بلک اسکولز است.