در قرن شانزدهم، جرولاما کاردانو ریاضیدان، قانون اعداد بزرگ را تشخیص داد اما هرگز آن را ثابت نکرد. در سال 1713، یاکوب برنولی ریاضیدان سوئیسی، این قضیه را در کتاب Ars Conjectandi اثبات کرد. بعدها توسط ریاضیدانان مشهور دیگر مانند پافنوتی چبیشف بنیانگذار مدرسه ریاضی سن پترزبورگ، اصلاح شد.
قانون اعداد بزرگ در زمینه مالی نشان می دهد که یک واحد بزرگ که به سرعت در حال رشد است نمی تواند آن سرعت رشد را برای همیشه حفظ کند. بزرگ‌ترین شرکت‌های معتبر و موفق که ارزش بازاری آن‌ها به بیش از صدها میلیارد دلار می‌رسد، اغلب به عنوان نمونه‌هایی از این پدیده ذکر می‌شوند.
نکات کلیدی
قانون اعداد بزرگ تضمین نمی کند که یک فضای نمونه معین، به ویژه یک فضای نمونه‌ای کوچک ویژگی های جامعه واقعی را منعکس می‌کند یا اینکه نمونه ای که ویژگی‌های جامعه واقعی را منعکس نمی کند، توسط نمونه بعدی متعادل می‌شود.
در حوزه کسب‌وکار، اصطلاح «قانون اعداد بزرگ» گاهی اوقات به معنای دیگر و برای بیان رابطه بین مقیاس و نرخ رشد استفاده می شود.
آشنایی با قانون اعداد بزرگ
در تجزیه و تحلیل آماری، قانون اعداد بزرگ را می توان برای موضوعات مختلفی به کار برد. ممکن است نظرسنجی از تک تک افراد یک جمعیت معین برای جمع‌آوری میزان داده‌های لازم امکان‌پذیر نباشد، اما هر نقطه داده اضافی جمع‌آوری‌شده از این ظرفیت برخوردار است که احتمال نزدیکی نتیجه‌ی نظرسنجی به میانگین جمعیت واقعی را افزایش دهد.
در حوزه کسب‌وکار، اصطلاح «قانون اعداد بزرگ» گاهی اوقات در رابطه با نرخ های رشد استفاده و به صورت درصد بیان می شود. این قانون نشان می دهد که با گسترش کسب و کار، حفظ درصد نرخ رشد به طور فزاینده ای دشوار می شود.
قانون اعداد بزرگ به این معنی نیست که یک فضای نمونه‌ای معین یا گروهی از نمونه های متوالی همیشه منعکس کننده ویژگی های جمعیت واقعی خواهد بود، به خصوص اگر فضاهای نمونه‌ای کوچک باشند. قانون اعداد بزرگ هم‌چنین تضمین نمی‌کند که اگر میانگین یک فضای نمونه‌ای معین یا مجموعه‌ای از نمونه‌ها از میانگین جمعیت واقعی منحرف شود، بررسی نمونه‌های متوالی میانگین مشاهده‌شده را به سمت میانگین جمعیت سوق می‌دهند (همانطور که در مغالطه قمارباز پیشنهاد شده است).
مهم
قانون اعداد بزرگ را نباید با قانون میانگین ها اشتباه گرفت که بیان می کند توزیع نتایج در یک نمونه (بزرگ یا کوچک) منعکس کننده توزیع نتایج جامعه است.
قانون اعداد بزرگ و تجزیه و تحلیل آماری
اگر فردی بخواهد مقدار متوسط یک مجموعه داده از 100 مقدار ممکن را تعیین کند، به احتمال زیاد با انتخاب 20 نقطه داده به جای تکیه بر دو مورد، به میانگین دقیق‌تری می رسد. به عنوان مثال، اگر مجموعه داده شامل همه اعداد صحیح از یک تا 100 باشد، و نمونه گیرنده فقط دو مقدار مانند 95 و 40 را انتخاب کند، ممکن است میانگین را تقریباً 67.5 تعیین کند. اگر او به نمونه گیری تصادفی تا 20 متغیر ادامه دهد، با در نظر گرفتن نقاط داده بیشتر، میانگین باید به سمت میانگین واقعی نزدیکتر شود.
قانون اعداد بزرگ و رشد تجارت
این اصطلاح در تجارت و امور مالی گاهی اوقات به صورت محاوره ای و برای اشاره به این مشاهدات استفاده می شود که نرخ های رشد نمایی اغلب مقیاس‌پذیر نیستند. این مسئله در واقع به قانون اعداد بزرگ مربوط نمی شود، اما ممکن است نتیجه قانون بازده‌های نهایی نزولی یا عدم صرفه جویی ناشی از مقیاس باشد.
به عنوان مثال، در ژانویه 2020، درآمد شرکت Walmart Inc به رقم 523.9 میلیارد دلار رسید، در حالی که شرکت Amazon.com Inc در مدت مشابه 280.5 میلیارد دلار درآمد داشت. اگر شرکت والمارت بخواهد درآمد خود را دو برابر کند، تقریباً 262 میلیارد دلار دیگر به درآمد خود اضافه کند. در مقابل، آمازون تنها باید 140.2 میلیارد دلار دیگر به درآمد خود اضافه کند تا درآمد خود را به 50 درصد افزایش دهد. بر اساس قانون اعداد بزرگ، افزایش 50 درصدی درآمد برای والمارت دشوارتر از آمازون تلقی می شود.
همین اصول را می توان برای معیارهای دیگر مانند ارزش بازار یا سود خالص اعمال کرد. در نتیجه، تصمیمات سرمایه‌گذاری را می‌توان بر اساس مشکلات مهمی که شرکت‌های دارای سرمایه بازاری بسیار بالا در زمینه افزایش ارزش سهام خود ممکن است با آن‌ها مواجه شوند مبتنی ساخت.
